Первообразная функции f(x) — это функция F(x), производная которой равна f(x) на данном интервале. То есть F'(x) = f(x). Первообразная называется также неопределённым интегралом функции f(x) и обозначается символом интеграла:
∫ f(x) dx = F(x) + C
где C — произвольная константа интегрирования, поскольку производная любой константы равна нулю.
Первообразные функций обладают рядом свойств, которые облегчают их вычисление:
Первообразная суммы функций равна сумме первообразных этих функций, а константу можно выносить за знак интеграла:
∫ (a * f(x) + b * g(x)) dx = a * ∫ f(x) dx + b * ∫ g(x) dx
где a и b — константы.
Если F(x) — первообразная функции f(x), то для F'(x) = f(x) справедливо:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Константа, умноженная на функцию, интегрируется как произведение этой константы и первообразной функции:
∫ c * f(x) dx = c * ∫ f(x) dx
Ниже представлена таблица часто используемых первообразных для стандартных функций:
| Функция | Первообразная |
|---|---|
f(x) = xⁿ (при n ≠ -1) |
F(x) = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C |
f(x) = 1/x |
F(x) = ln|x| + C |
f(x) = eˣ |
F(x) = eˣ + C |
f(x) = aˣ |
F(x) = aˣ / ln(a) + C (при a > 0) |
f(x) = sin(x) |
F(x) = -cos(x) + C |
f(x) = cos(x) |
F(x) = sin(x) + C |
f(x) = sec²(x) |
F(x) = tan(x) + C |
f(x) = 1 / (1 + x²) |
F(x) = arctan(x) + C |
f(x) = 1 / √(1 - x²) |
F(x) = arcsin(x) + C |
f(x) = ch(x) |
F(x) = sh(x) + C |
f(x) = sh(x) |
F(x) = ch(x) + C |
Рассмотрим нахождение первообразной функции f(x) = 3x²:
x² первообразная равна x³ / 3.∫ 3x² dx = 3 * (x³ / 3) = x³ + C.Первообразная функции — это функция, производная которой равна данной функции. Основные свойства первообразных и таблица интегралов облегчают процесс интегрирования, позволяя быстро находить решения для типичных функций.