Вектор — это упорядоченная последовательность чисел (компонент), которая может быть представлена в виде столбца или строки. Вектор размерности n может быть записан как:
v = [v₁, v₂, ..., vn]
где v₁, v₂, ..., vn — компоненты вектора. Векторы часто представляют собой величины с направлением и длиной и применяются в различных областях, таких как физика, машинное обучение и компьютерная графика.
Матрица — это двумерный массив чисел, организованный в виде строк и столбцов. Матрица размерности m × n содержит m строк и n столбцов:
A = [a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ;
a₂₁, a₂₂, ..., a₂ₙ;
...
am₁, am₂, ..., amₙ]
Элементы матрицы обозначаются aᵢⱼ, где i — номер строки, а j — номер столбца. Матрицы широко используются для представления данных и вычислений в линейной алгебре, компьютерной графике и машинном обучении.
Сложение и вычитание векторов u и v одинаковой размерности выполняются поэлементно:
u + v = [u₁ + v₁, u₂ + v₂, ..., un + vn]
u - v = [u₁ - v₁, u₂ - v₂, ..., un - vn]
Умножение вектора v на скаляр c выполняется поэлементно:
c * v = [c * v₁, c * v₂, ..., c * vn]
Скалярное произведение двух векторов u и v одинаковой размерности — это сумма произведений их соответствующих компонентов:
u ⋅ v = u₁ * v₁ + u₂ * v₂ + ... + un * vn
Результатом является число (скаляр).
Сложение и вычитание матриц A и B одинаковой размерности выполняются поэлементно:
(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ
(A - B)ᵢⱼ = aᵢⱼ - bᵢⱼ
Умножение матрицы A на скаляр c выполняется поэлементно:
(c * A)ᵢⱼ = c * aᵢⱼ
Умножение матриц A размерности m × n и B размерности n × p даёт матрицу C размерности m × p. Элемент cᵢⱼ матрицы C вычисляется как скалярное произведение i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B:
cᵢⱼ = Σ aᵢₖ * bₖⱼ
где сумма берется по всем значениям k от 1 до n.
Транспонирование матрицы A заключается в замене её строк на столбцы. Транспонированная матрица обозначается как Aᵀ:
(Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ
Определитель квадратной матрицы A — это число, которое характеризует матрицу и её свойства, такие как обратимость. Определитель обозначается как det(A) или |A| и вычисляется с помощью разложения или других методов для матриц размером больше 2 × 2.
Квадратная матрица A называется обратимой, если существует матрица A⁻¹, такая что A * A⁻¹ = I, где I — единичная матрица. Обратную матрицу можно вычислить для матриц с ненулевым определителем.
Пусть A и B — две матрицы:
A = [1, 2;
3, 4]
B = [5, 6;
7, 8]
Тогда A + B и A * B будут:
A + B = [6, 8;
10, 12]
A * B = [1*5 + 2*7, 1*6 + 2*8;
3*5 + 4*7, 3*6 + 4*8]
= [19, 22;
43, 50]
Векторы и матрицы являются основными объектами в линейной алгебре, и операции над ними важны для решения систем уравнений, обработки данных и создания математических моделей. Операции сложения, умножения, транспонирования и нахождения определителя играют важную роль в различных областях математики и её приложениях.